Des articles

3.1 : Introduction aux fonctions de variables multiples - Mathématiques


Dans Introduction aux applications des dérivés, nous avons étudié comment déterminer le maximum et le minimum d'une fonction d'une variable sur un intervalle fermé. Dans chacun de ces exemples, la fonction a une variable indépendante.

Supposons cependant que nous ayons une quantité qui dépend de plus d'une variable. Par exemple, la température peut dépendre du lieu et de l'heure de la journée, ou le modèle de profit d'une entreprise peut dépendre du nombre d'unités vendues et du montant dépensé en publicité. Dans ce chapitre, nous examinons une entreprise qui produit des balles de golf. Nous développons un modèle de profit et, sous diverses restrictions, nous constatons que le niveau optimal des dollars de production et de publicité dépensés détermine le profit maximum possible. Selon la nature des restrictions, à la fois la méthode de résolution et la solution elle-même changent.

Lorsqu'il s'agit d'une fonction de plus d'une variable indépendante, plusieurs questions se posent naturellement. Par exemple, comment calculons-nous les limites des fonctions de plus d'une variable ? La définition de dérivée que nous avons utilisée auparavant impliquait une limite. La nouvelle définition de dérivé implique-t-elle également des limites ? Les règles de différenciation s'appliquent-elles dans ce contexte ? Pouvons-nous trouver des extrema relatifs de fonctions en utilisant des dérivées ? Toutes ces questions trouvent leur réponse dans ce chapitre.


Aperçu des mathématiques

Vous avez appris dans le calcul à une variable qu'une fonction $f: R o R$ (confus ?) peut ou non être dérivable. En effet, une fonction peut être différentiable à certains endroits mais pas à d'autres.

Considérons la fonction $r(i)$ qui donne le débit de sortie $r$ d'un neurone en fonction de son entrée $i$. Un neurone communique avec d'autres neurones en envoyant des impulsions de sortie (ou &ldquospikes&rdquo) à d'autres neurones. Pour simplifier, nous ne gardons trace que du taux $r(i)$ de ces pics. Puisqu'un taux négatif n'a pas de sens, nous savons que $r(i) ge 0$.

Pour ce modèle de neurone idéalisé, le neurone est complètement silencieux lorsqu'il a très peu d'entrée, c'est-à-dire lorsque l'entrée $i$ est petite alors le taux $r(i)=0$. Ce n'est que lorsque l'entrée dépasse un certain seuil $I_0$ que le neurone commence à émettre des pointes de sortie. Le taux de sortie augmente à mesure que $i$ augmente, comme illustré dans ce graphique de $r(i)$. (La courbe se stabilise pour les valeurs élevées de $i$ car il existe une limite à la vitesse à laquelle le neurone peut émettre des pics de sortie. Par exemple, la limite peut être de 200 pics par seconde.)

La fonction est dérivable partout sauf au point où $i = I_0$. Par dérivable, nous entendons que nous pouvons ajuster le graphique de $r(i)$ avec une ligne tangente (non verticale). Pour n'importe quel niveau d'entrée, disons $i=a$, nous pouvons trouver une ligne qui se rapproche étroitement de $r(i)$ autour de $a$, tant que $a e I_0$.

La fonction $r(i)$ n'est pas dérivable en $i = I_0$ car il n'y a pas de tangente en $i=I_0$. Le graphique de $r$ a un coude à cet endroit, donc quelle que soit la ligne choisie, elle ne correspondra pas au graphique à gauche ou à droite de $I_0$.

Une équation pour une ligne passant par le point $(a,r(a))$ (indiquée par le point noir sur la figure) est egin L(i) = r(a) + m(i-a), end où $m$ est la pente de la droite. On peut penser au fait que &ldquo$r(i)$ est dérivable en $i=ardquo comme signifiant que $r(i)$ est presque linéaire pour $i$ près de $a$. On peut trouver une valeur particulière de la pente $m$ pour que la droite $L(i)$ soit une très bonne approximation pour $r(i)$ lorsque $i$ est proche de $a$. Pour cette valeur particulière de $m$, la ligne $L(i)$ est appelée l'approximation linéaire de $r(i)$ autour de $a$. Cette droite est bien entendu la droite tangente à $r$.

La pente particulière où $L(i)$ devient la ligne tangente, ou approximation linéaire, est la dérivée $m=r'(a)$. Vous avez appris d'autres définitions de la dérivée d'une fonction, mais vous pouvez tout aussi bien la définir comme la pente de cette approximation linéaire. C'est en effet ainsi que nous définirons la dérivée dans les dimensions supérieures.

Différenciation en deux dimensions

Le but de cet examen de longue haleine de la différentiabilité à une variable était de refondre la dérivée dans le langage que nous utiliserons pour la différentiabilité à plusieurs variables.

Pour illustrer, modifions notre exemple de neurone. Il s'avère que de nombreux neurones ont des « ldquorécepteurs » intégrés en eux qui répondent à la nicotine. Pour ces neurones, la présence de nicotine modifie leur comportement. (Inutile de dire que de nombreux membres de la communauté médicale s'intéressent aux récepteurs nicotiniques car la nicotine est une drogue courante de dépendance.) qui donne la réponse neuronale en fonction à la fois de l'entrée $i$ et du niveau de nicotine $s$. (Le choix de la lettre $s$ vient de &ldquosmoke.&rdquo)

Imaginons que l'effet de la nicotine est de déplacer le seuil $I_0$ vers des valeurs plus petites et d'aplanir la réponse d'un neurone à l'entrée. Nous écrivons la réponse d'un neurone pour saisir $i$ et la nicotine $s$ sous la forme $r(i,s)$. Si nous regardons le cas où $s=0$, nous avons la courbe originale $r(i,0)$ du taux de sortie neuronale à entrer. Si nous ajoutons de la nicotine à un certain niveau, disons $s=2$ (dans certaines unités arbitraires), alors la courbe devient $r(i,2)$, une version décalée et aplatie de la courbe originale. L'augmentation de la nicotine jusqu'à $s=4$ donne la courbe encore plus décalée et aplatie $r(i,4)$.

Pour obtenir une image complète, nous pouvons tracer la fonction complète $r(i,s)$. Voici une applet affichant $r(i,s)$, que vous pouvez faire pivoter pour mieux voir.

Chargement de l'applet

Taux de décharge des neurones en réponse aux niveaux d'entrée et de nicotine. Une représentation fictive du taux de décharge $r(i,s)$ d'un neurone en réponse à une entrée $i$ et au niveau de nicotine $s$. La cadence de tir augmente avec l'entrée $i$, mais elle augmente plus lentement à mesure que $s$ augmente. La cadence de tir est nulle en dessous d'un seuil d'entrée qui diminue avec $s$. Cela conduit à un pli dans la surface qui décrit la fonction $r(i,s)$.

Une des premières choses que vous remarquerez est que la surface $r(i,s)$ est lisse à l'exception d'un pli ou d'un pli le long d'une ligne. Ce pli est composé de ces points où, pour un niveau de nicotine donné $s$, $r(i,s)$ devient soudainement différent de zéro lorsque vous augmentez l'entrée $i$. Le pli est analogue au pli à $I_0$ que nous avons vu dans la courbe d'origine, ci-dessus.

Nous voulons définir une notion de différentiabilité pour notre fonction multivariable $r(i,s)$. Comme dans le cas à une variable, la fonction $r(i,s)$ peut être dérivable en certains points et pas en d'autres. Notre définition de la différentiabilité devrait distinguer le pli de la surface des parties lisses de la surface. Pour être cohérent avec le cas à une variable, la fonction $r(i,s)$ ne devrait pas être dérivable le long du pli.

Par exemple, le graphique ci-dessous montre que $r(i,s)$ est dérivable au point $(i,s)=(3,3)$ (indiqué par le point vert), car il y a un plan tangent à ce point point. D'un autre côté, si nous essayions d'ajuster un plan à un point où la surface se plie (par exemple, le point indiqué par le point rouge), nous n'y arriverions jamais. Le plan ne correspondra pas au graphique d'un côté ou de l'autre du pli. Par conséquent, la fonction $r(i,s)$ n'est dérivable en aucun point le long du pli.

Chargement de l'applet

Fonction de taux de décharge des neurones avec plan tangent. Une représentation fictive du taux de décharge $r(i,s)$ d'un neurone en réponse à une entrée $i$ et au niveau de nicotine $s$. Le graphique de la fonction a un plan tangent à l'emplacement du point vert, donc la fonction y est dérivable. En faisant pivoter le graphique, vous pouvez voir comment le plan tangent touche la surface à ce point. Vous pouvez déplacer le point vert n'importe où sur la surface tant qu'il ne se trouve pas le long du pli du graphique (où le point rouge est contraint d'être), vous pouvez voir le plan tangent montrant que la fonction est dérivable. Il n'y a pas de plan tangent au graphique en aucun point le long du pli du graphique (vous pouvez déplacer le point rouge vers n'importe quel point le long de ce pli). La fonction $r(i,s)$ n'est dérivable en aucun point du pli. Comme preuve supplémentaire de cette indifférenciation, le plan tangent saute à un angle différent lorsque vous déplacez le point vert à travers le pli.

Une équation pour un plan passant par le point $(a_1,a_2,r(a_1,a_2))$ (comme le point vert dans l'applet) est donnée par egin L(i,s) = r(a_1,a_2) + m(i-a_1) + n(s-a_2). finir Dans ce cas, nous avons deux pentes : la pente $m$ dans le sens où $i$ augmente, et la pente $n$ dans le sens où $s$ augmente. Si $r(i,s)$ est dérivable en $(a_1,a_2)$, cela signifie que $r$ est presque linéaire pour $(i,s)$ près de $(a_1,a_2)$. On peut donc trouver des pentes $m$ et $n$ pour que $f(i,s)$ soit une très bonne approximation pour $r(i,s)$ pour $(i,s)$ proche de $(a_1 ,a_2)$. Pour ces valeurs particulières de $m$ et $n$, $L(i,s)$ est appelé l'approximation linéaire de $r(i,s)$, c'est-à-dire que $L(i,s)$ est le plan tangent .

Quelles sont ces valeurs spéciales de $m$ et $n$ ? Ce sont les pentes du graphe de $r(i,s)$ dans la direction $i$ et $s$, qui sont les dérivées partielles de $r$ à $vc=(a_1,a_2)$ : egin m = pdiff(a_1,a_2) n = pdiff(a_1,a_2). finir

De cette façon, la différentiabilité à deux variables est analogue à la différentiabilité à une variable, la différentiabilité signifiant l'existence de l'approximation linéaire. L'approximation linéaire est juste un peu plus compliquée : la ligne tangente à une pente est remplacée par le plan tangent à deux pentes. Dans le cas à une variable, la seule pente était la dérivée. Dans le cas à deux variables, nous regroupons les deux pentes dans le matrice de dérivées partielles: commencer Dr(a_1,a_2) = gauche[pdiff(a_1,a_2) ,, ,, pdiff(a_1,a_2)droit]. finir Si le plan tangent existe à $vc=(a_1,a_2)$, nous pouvons considérer la matrice de lignes $Dr(vc)$ comme étant la dérivée de $r$ au point $vc$.

Nous venons de gratter la surface

Dans une si courte introduction à la différentiabilité, nous avons dû cacher de nombreux détails importants sous le tapis. Vous avez peut-être remarqué que nous avons joué un peu avec le langage en décrivant la condition de différentiabilité comme ayant une approximation linéaire, car nous avons utilisé des expressions comme une &ldquoreally good&rdquo approximation de la fonction.

Une fois que vous vous sentez à l'aise avec l'idée de base de la différentiabilité présentée dans cette page, nous vous encourageons à passer à l'étape suivante pour comprendre ce que signifie réellement la différentiabilité. Une suggestion consiste à vérifier la définition réelle de la différentiabilité pour savoir ce que nous voulions dire lorsque nous avons dit que l'approximation linéaire doit être une "quorellement bonne" approximation de la fonction. (Si c'est la première fois que vous lisez sur la différentiabilité, vous voudrez peut-être d'abord sortir et prendre l'air avant de continuer.)

La différentiabilité dans les dimensions supérieures est plus délicate que dans une dimension car avec deux dimensions ou plus, une fonction peut ne pas être différentiable de manière plus subtile que le simple pli que nous avons montré dans l'exemple ci-dessus. En effet, la matrice des dérivées partielles peut exister en un point sans que la fonction soit dérivable en ce point. C'est vrai, l'existence de toutes les dérivées partielles ne suffit pas à garantir la différentiabilité. Pour vraiment comprendre la différentiabilité, vous devez vous attaquer à certaines de ces subtilités de la différentiabilité dans les dimensions supérieures.

Vous voulez voir des exemples de calcul de la dérivée dans des dimensions supérieures ?


Unité de fonctions

Commentaires

Besoin de plus d'aide pour vos études d'algèbre ?

Accédez à des centaines d'exemples vidéo et entraînez-vous aux problèmes avec votre abonnement ! 

Cliquez ici pour plus d'informations sur nos options d'abonnement abordables.

Vous n'êtes pas prêt à vous inscrire ?  Inscrivez-vous à notre cours GRATUIT de remise à niveau en pré-algèbre.

MEMBRES DU COURS ÉLECTRONIQUE DE LA CLASSE D'ALGÈBRE

Cliquez ici pour plus d'informations sur nos cours en ligne sur la classe d'algèbre.


Langage PLASM

PLASM, (le langage de programmation pour la modélisation solide) est un langage de conception, développé par le groupe CAD des universités de Rome La Sapienza et Rome Tre [PS92, PPV95]. La langue est fortement influencée par FL. Avec peu de différences syntaxiques, il peut être considéré comme une extension géométrique d'un sous-ensemble FL. Parmi les points forts du PLASM nous citons :

l'approche fonctionnelle, qui permet de calculer aussi bien avec des géométries qu'avec des nombres et des fonctions, et ses

la mise en œuvre indépendante des dimensions de structures de données géométriques et d'algorithmes.

La première caractéristique se traduit par une approche très naturelle et puissante de la géométrie paramétrique. Le second, couplé au "moteur combinatoire" du langage FL, donne un pouvoir descriptif étonnant lors du calcul avec la géométrie.


RBF Kernel – Pourquoi est-il si populaire ?

Dans cette section, nous voyons le noyau RBF (Radial Basis Function), qui a une représentation flexible et est principalement utilisé dans les méthodes pratiques du noyau.

Noyau RBF est un noyau, qui ne dépend que de sa norme .
En particulier, la forme de noyau suivante est appelée Noyau gaussien.

Remarque : Il est connu qu'il s'agit d'une fonction noyau valide, si c'est une fonction noyau.
Le noyau gaussien a une dimensionnalité infinie.

Dans cette section, je vais vous montrer comment il s'adapte aux données réelles et vous faire comprendre pourquoi ce noyau (estimation Parzen) est si populaire.
Pour plus de simplicité, nous discutons d'abord de l'utilisation de la régression linéaire précédente

Maintenant, pour simplifier les choses, supposons la classification binaire suivante du vecteur à 2 dimensions et considérons la possibilité d'erreurs.

Comme vous pouvez facilement l'imaginer, vous verrez les valeurs d'erreur avec une grande possibilité lorsqu'il est près de la limite, et avec moins de possibilité lorsqu'il est loin de la limite. Comme vous pouvez le voir ci-dessous, la possibilité d'erreurs suivra la distribution normale à 2 dimensions (distribution gaussienne) en fonction de la distance (norme euclidienne) de la frontière.

Remarque : Pour simplifier, nous supposons ici que deux variables et sont indépendantes l'une de l'autre, alors leur covariance est égale à zéro. Et nous supposons également que l'écart type pour et sont les deux .
(c'est-à-dire que la matrice de covariance dans la distribution gaussienne est isotrope.)

Au contraire, considérons la possibilité d'erreur du point suivant.
Comme vous le voyez ci-dessous, cela sera affecté à la fois par la limite supérieure et inférieure, et cela deviendra la somme des deux possibilités.

Remarque : Si vous additionnez simplement ces possibilités (pour la face supérieure et la face inférieure), le total des possibilités dépassera 1. Ainsi, à proprement parler, vous devriez normaliser la somme de ces possibilités.

Finalement, la possibilité d'erreurs sera décrite comme une distribution de densité de probabilité par la combinaison (somme et normalisation) des distributions normales dans chaque point observé.

Afin de voir cela dans le bref exemple, supposons la courbe sinusoïdale unidimensionnelle suivante et nous avons les 6 points observés suivants exacts sur cette courbe.

Ensuite, en appliquant les étapes suivantes, nous pouvons estimer la courbe sinusoïdale d'origine avec ces 6 points.

  1. Supposons des distributions normales (distributions gaussiennes) pour chaque 6 points observés.
  2. Obtenez le ratio pondéré pour chaque distribution.
    Par exemple, nous supposons sur l'image ci-dessus (distributions gaussiennes multiples). Alors la valeur pondérée pour chaque élément sur est :
    ,
    ,
    ,
    .
    L'image suivante montre les tracés pondérés de chaque distribution.
  3. Multipliez par chacune des valeurs observées.
    Par exemple, si la valeur t du premier point observé est 5 (voir l'image ci-dessus de la courbe sinusoïdale), alors l'effet de cette première valeur (ligne noire) sur sera égal à . (Voir l'image ci-dessous.)
  4. Enfin, additionnez toutes ces valeurs (c'est-à-dire ces effets) pour 6 éléments sur chaque point de l'axe des x.

Rappelons que la fonction prédictive par régression linéaire avec fonction de base peut s'écrire comme la combinaison linéaire entre les valeurs cibles (t) et les fonctions noyau. (Voir la section précédente.)
En conséquence, vous pouvez facilement estimer la courbe d'origine par noyau gaussien en utilisant les données observées données comme suit.
Le noyau gaussien a une représentation riche et peut s'adapter à différents types de formules.

Remarque : Ici, j'ai montré un bref exemple utilisant une simple courbe sinusoïdale à une dimension, mais voir le chapitre 6.3.1 dans “Pattern Recognition and Machine Learning” (Christopher M. Bishop, Microsoft) pour les étapes générales de la régression de Nadaraya-Watson (noyau plus lisse).

en gaussien est déterminé expérimentalement.
Quand est plus grand, le modèle deviendra plus lisse. Au contraire, quand est plus petit, le modèle est localement dominé par des valeurs observées proches.

La valeur de l'écart type () est grande

La valeur de l'écart type () est petite

Remarque : Lorsque diffère extrêmement en chaque point, vous pouvez utiliser la méthode d'estimation par kNN (K voisin le plus proche) en approche non paramétrique.
Contrairement à l'approche paramétrique, ces approches non paramétriques ne s'adapteront qu'à proximité des données observées. (Voir mon premier article “Comprendre les bases de la régression” pour les régressions paramétriques.)

Revenons maintenant à l'équation (6) et (7).

Dans ces équations, la formule de est inconnue, mais nous pouvons nous attendre à ce qu'elles soient également estimées par le noyau gaussien, puis nous pouvons obtenir des multiplicateurs de Lagrange optimaux sous ces hypothèses.
Comme vous l'avez vu ci-dessus, lorsqu'il est plus petit dans le noyau gaussien, l'hyperplan sera également de plus en plus dominé par les données observées proches par rapport aux données distantes.

Remarque : En général, une fonction de régression qui forme une combinaison linéaire du noyau par l'ensemble d'apprentissage et les valeurs cibles, , est appelée un lisseur linéaire.
Ici, nous avons obtenu cette forme par pensée intuitive, mais vous pouvez obtenir le résultat de régression équivalent par inférence bayésienne (calcul algébrique) pour une fonction de base linéaire.


Ce que vous trouverez dans ce zyBook :

Plus d'action avec moins de texte.

  • Fort accent sur les opérations sur les baies
  • Plus de 700 activités de participation et de challenge : Questions, animations, outils
  • Système de devoirs MATLAB® entièrement intégré
  • Idéal pour un apprentissage autonome à son rythme, ainsi que pour un cours traditionnel
  • Avec des bancs d'essai

zyBooks est le premier partenaire à proposer MATLAB® dans le cloud et intégré dans un manuel. MATLAB® et le logo de la membrane en forme de L® sont des marques déposées de The MathWorks, Inc.

Instructeurs : Intéressé à évaluer ce zyBook pour votre classe ? Inscrivez-vous pour un essai gratuit et découvrez le premier chapitre de n'importe quel zyBook dès aujourd'hui !


Présentation 9
Chapitre 1. LA VARIABLE COMPLEXE ET LES FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE 11

1.1. Nombres complexes et opérations sur les nombres complexes 11
une. Le concept d'un nombre complexe 11
b. Opérations sur les nombres complexes 11
c. L'interprétation géométrique des nombres complexes 13
ré. Extraire la racine d'un nombre complexe 15

1.2. La limite d'une suite de nombres complexes 17
une. La définition d'une suite convergente 17
b. L'épreuve de Cauchy 19
c. Point à l'infini 19

1.3. Le concept d'une fonction d'une variable complexe. Continuité 20
une. Définitions de base 20
b. Continuité 23
c. Exemples 26

1.4. Différencier la fonction d'une variable complexe 30
une. Définition. Conditions de Cauchy-Riemann 30
b. Propriétés des fonctions analytiques 33
c. La signification géométrique de la dérivée d'une fonction d'une variable complexe 35
ré. Exemples 37

1.5. Une intégrale par rapport à une variable complexe 38
une. Propriétés de base 38
b. Théorème de Cauchy 41
c. Indéfini Intégral 44
1.6. Intégrale de Cauchy 47
une. Dérivation de la formule 47 de Cauchy
b. Corollaires à la formule 50 de Cauchy
c. Le principe du module maximum d'une fonction analytique 51

1.7. Intégrales dépendantes d'un paramètre 53
une. Dépendance analytique à un paramètre 53
b. Une fonction analytique et l'existence de dérivées de tous ordres 55
Chapitre 2. SÉRIE DE FONCTIONS ANALYTIQUES 58

2.1. Série uniformément convergente de fonctions d'une variable complexe 58
une. Série de numéros 58
b. Série fonctionnelle. Convergence uniforme 59
c. Propriétés des séries uniformément convergentes. Théorèmes de Weierstrass 62
ré. Intégrales incorrectes dépendant d'un paramètre 66

2.2. Série de puissance. Taylor's Series 67
une. Théorème d'Abel 67
b. Taylor série 72
c. Exemples 74
2.3. Unicité de la définition d'une fonction analytique 76
une. Zéros d'une fonction analytique 76
b. Théorème d'unicité 77

Chapitre 3. POURSUITE ANALYTIQUE. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D'UNE VARIABLE COMPLEXE 80

3.1. Fonctions élémentaires d'une variable complexe. Continuation
de l'Axe réel 80
une. Suite de l'axe réel 80
b. Poursuite des relations 84
c. Propriétés des fonctions élémentaires 87
ré. Mappages de fonctions élémentaires 91
3.2. Suite analytique. Le Riemann Surface 95
une. Principes de base. Le concept d'une surface de Riemann 95
b. Continuation analytique à travers une frontière 98
c. Exemples de construction de continuations analytiques. Continuation à travers une frontière 100
ré. Exemples de construction de continuations analytiques. Suite au moyen de la série puissance 105
e. Points réguliers et singuliers d'une fonction analytique 108
F. Le concept d'une fonction analytique complète 111
Chapitre 4. LA SÉRIE LAURENT ET LES POINTS SINGULIERS ISOLÉS 113

4.1. La Série Laurent 113
une. Le domaine de convergence d'une série de Laurent 113
b. Développement d'une fonction analytique dans une série de Laurent 115

4.2. Une classification des points singuliers isolés d'une fonction analytique à valeur unique 118
Chapitre 5. LES RESIDUS ET LEURS APPLICATIONS 125

5.1. Le résidu d'une fonction analytique à une singularité isolée 125
une. Définition d'un résidu. Formules d'évaluation des résidus 125
b. Le théorème des résidus 127

5.2. Évaluation des intégrales définies par !leans of Residus 130
une. Intégrales de la forme $int^<2 pi>_<0>R (cos heta sin heta ) d heta$ 131
b. Intégrales de la forme $int^_ f(x)dx$ 132
c. Intégrales de la forme $int^_ exp(iax)f(x)dx$. Lemme de Jordan 135
ré. Le cas des fonctions à valeurs multiples 141

5.3. Résidus logarithmique 147
une. Le concept de résidu logarithmique 147
b. Compter le nombre de zéros d'une fonction analytique 149

Chapitre 6. CARTOGRAPHIE CONFORMELLE 153

6.1. Propriétés générales 153
une. Définition d'une cartographie conforme 153
b. Exemples élémentaires 157
c. Principes de base 160
ré. Théorème de Riemann 166

6.2. Fonction linéaire-fractionnelle 169

6.3. Fonction de Joukovski 179

6.4. Intégrale de Schwartz-Christoffel. Transformation de polygones 181

Chapitre 7. FONCTIONS ANALYTIQUES DANS LA SOLUTION DES PROBLÈMES DE VALEUR LIMITE 191

7. 1. Généralités 191
une. La relation des fonctions analytiques et harmoniques 191
b. Préservation de l'opérateur de Laplace dans une application conforme 192
c. Le problème de Dirichlet 194
ré. Construire une fonction source 197

7.2. Applications aux problèmes de mécanique et de physique 199
une. Écoulement bidimensionnel en régime permanent d'un fluide 199
b. Un champ électrostatique bidimensionnel 211

Chapitre 8. FONDAMENTAUX DU CALCUL OPÉRATIONNEL 221

8.1. Propriétés de base de la transformation de Laplace 221
une. Définition 221
b. Transformées de fonctions élémentaires 225
c. Propriétés d'une transformation 227
ré. Tableau des propriétés des transformées 236
e. Tableau des transformations 236
8.2. Détermination de la fonction d'origine à partir de la transformation 238
une. Formule de Mellin 238
h. Conditions d'existence de la fonction d'origine 241
c. Calcul de l'intégrale de Mellin 245
ré. Le cas d'une fonction régulière à l'infini 249
8.3. Résolution de problèmes pour les équations différentielles linéaires par la méthode opérationnelle 252
une. Équations différentielles ordinaires 252
b. Équation de conduction thermique 257
c. Le problème de la valeur aux limites pour une équation aux dérivées partielles 259
Appendice I. MÉTHODE DE LA POINTE DE SELLE 261
I.1. Remarques introductives 261

I.2. Méthode de Laplace 264
I.3. La méthode du point de selle 271
Annexe II. LA MÉTHODE WIENER-HOPF 280

II.1. Remarques introductives 280
11.2. Propriétés analytiques de la transformation de Fourier 284
11.3. Équations intégrales avec un noyau de différence 287
II.4. Schéma général de la méthode Wiener-Hopf 292
II.5. Problèmes qui se réduisent à des équations intégrales avec une différence
Noyau 297
une. Dérivation de l'équation de Milne 297
b. Recherche de la solution de l'équation de Milne 301
c. Diffraction sur écran plat 305
II.6. Résolution des problèmes de valeur aux limites pour les équations aux dérivées partielles par la méthode de Wiener-Hopf 306

Annexe III. FONCTIONS DE NOMBREUSES VARIABLES COMPLEXES 310

III.1. Définitions de base 310
III.2. Le concept d'une fonction analytique de nombreuses variables complexes 311
III.3. Formule 312 de Cauchy
III.4. Puissance Série 314
III.5. Taylor's série 316
III.6. Suite analytique 317

Annexe IV. MÉTHODE DE WATSON 320
Références 328
Index des noms 329
Index des sujets 330


3.1 : Introduction aux fonctions de variables multiples - Mathématiques

Une matrice représente une collection de nombres disposés dans un ordre de lignes et de colonnes. Il est nécessaire de mettre les éléments d'une matrice entre parenthèses ou parenthèses.
Une matrice avec 9 éléments est montrée ci-dessous.


Cette matrice [M] a 3 lignes et 3 colonnes. Chaque élément de la matrice [M] peut être désigné par son numéro de ligne et de colonne. Par exemple, un23=6

Ordre d'une matrice :
L'ordre d'une matrice est défini en fonction de son nombre de lignes et de colonnes.
Ordre d'une matrice = nombre de lignes × nombre. de colonnes
Par conséquent, la matrice [M] est une matrice d'ordre 3 × 3.

Transposition d'une matrice :
La transposée [M] T d'une matrice m x n [M] est la matrice n x m obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes de [M].
si A= [aje] mxn , alors A T = [bje] nxm où bje = unj'ai

Propriétés de transposition d'une matrice :

Matrice singulière et non singulière :

  1. Matrice singulière : une matrice carrée est dite matrice singulière si son déterminant est nul, c'est-à-dire |A|=0
  2. Matrice non singulière : Une matrice carrée est dite matrice non singulière si son déterminant est non nul.

Propriétés de l'addition et de la multiplication matricielles :

  1. A+B = B+A (commutatif)
  2. (A+B)+C = A+ (B+C) (Associatif)
  3. UN B ? BA (non commutatif)
  4. (AB) C = A (BC) (Associatif)
  5. A (B+C) = AB+AC (Distributif)

Matrice Carrée: Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes. c'est-à-dire nombre de lignes = nombre de colonnes.
Matrice symétrique : Une matrice carrée est dite symétrique si la transposée de la matrice d'origine est égale à sa matrice d'origine. c'est-à-dire (A T ) = A.
Anti-symétrique : Une matrice antisymétrique (ou antisymétrique ou antimétrique[1]) est une matrice carrée dont la transposée est égale à sa valeur négative. (A T ) = -A.

Matrice diagonale:Une matrice diagonale est une matrice dans laquelle les entrées en dehors de la diagonale principale sont toutes nulles. Le terme fait généralement référence à des matrices carrées.
Matrice d'identité:Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments de la diagonale principale sont des uns et tous les autres éléments sont des zéros. La matrice d'identité est notée I.
Matrice orthogonale : Une matrice est dite orthogonale si AA T = A T A = I
Matrice idempotente : Une matrice est dite idempotente si A 2 = A
Matrice Involutive : Une matrice est dite involutive si A 2 = I.

Remarque : Chaque matrice carrée peut être exprimée de manière unique comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice à symétrie asymétrique. A = 1/2 (AT + A) + 1/2 (A – AT).

Adjoint d'une matrice carrée : L'adjoint d'une matrice A est le transposé de la matrice cofacteur de A



Propriétés de Adjoint :

  1. A(Adj A) = (Adj A) A = |A| jem
  2. Adj(AB) = (Adj B).(Adj A)
  3. |Rég A|= |A| n-1
  4. Adj(kA) = k n-1 Adj(A)
  5. |adj(adj(A))|= |A|^(n-1)^2
  6. adj(adj(A))=|A|^(n-2) * A
  7. Si A = [L,M,N] alors adj(A) = [MN, LN, LM]
  8. adj(I) = I

Où, “n = nombre de lignes = nombre de colonnes”

Inverse d'une matrice carrée :


Ici |A| ne doit pas être égal à zéro, cela signifie que la matrice A doit être non singulière.

Propriétés de l'inverse :

1. (A -1 ) -1 = A
2. (AB) -1 = B -1 A -1
3. seule une matrice carrée non singulière peut avoir un inverse.

Où doit-on utiliser la matrice inverse ?

Si vous avez un ensemble d'équations simultanées :

7x + 2y + z = 21
3y – z = 5
-3x + 4y – 2x = -1

Comme nous le savons quand AX = B, alors X = A -1 B, nous calculons donc l'inverse de A et en le multipliant par B, nous pouvons obtenir les valeurs de x, y et z.

Trace d'une matrice : trace d'une matrice est notée tr(A) qui n'est utilisée que pour la matrice carrée et est égale à la somme des éléments diagonaux de la matrice. Rappelez-vous que la trace d'une matrice est également égale à la somme des valeurs propres de la matrice. Par example:


Cet article est contribué par Nitika Bansal. Si vous aimez GeeksforGeeks et souhaitez contribuer, vous pouvez également écrire un article en utilisant write.geeksforgeeks.org ou envoyer votre article à [email protected] Consultez votre article apparaissant sur la page principale GeeksforGeeks et aidez les autres Geeks.

Veuillez écrire des commentaires si vous trouvez quelque chose d'incorrect ou si vous souhaitez partager plus d'informations sur le sujet abordé ci-dessus.

Attention lecteur ! N'arrêtez pas d'apprendre maintenant. Tout savoir Concepts GATE CS avec cours gratuits en direct sur notre chaîne youtube.


3.1 : Introduction aux fonctions de variables multiples - Mathématiques

Le calcul est l'étude des fonctions.

Les fonctions de trois variables sont similaires à bien des égards à celles de deux variables. Une différence principale, cependant, est que les graphiques des fonctions de plus de deux variables ne peuvent pas être visualisés directement, car ils ont une dimension supérieure à trois. Cependant, nous pouvons toujours utiliser des courbes de tranche, des surfaces de tranche, des contours et des ensembles de niveaux pour examiner ces fonctions de dimension supérieure.

Les fonctions les plus simples sont les fonctions constantes et les fonctions linéaires.


Lorsque nous décrivons un hyperplan comme le graphe d'une fonction linéaire f(x,y,z) = px + qy + rz + k, nous donnons un rôle particulier à l'origine. Souvent, il est plus pratique de considérer des plans passant par un point particulier (x0, y0,z0,w0) dans l'espace, et nous pouvons décrire un tel plan avec la pente x p, la pente y q et la pente z r par la condition w-w0 = p(x-x0) + q(y-y0) + r(z-z0). En choisissant différentes valeurs des pentes p, q et r, nous obtenons tous les hyperplans non verticaux passant par (x0, y0,z0,w0).

La fonction la plus simple de toutes est la fonction zéro, Défini par f(x,y,z) = 0 pour tous x, y, z. Cette fonction peut être définie pour n'importe quel domaine, et la plage sera toujours le point unique .

La prochaine classe de fonctions la plus simple est la fonctions constantes Défini par f(x,y,z) = k pour tous x, y, z. Une fonction constante peut être définie pour n'importe quel domaine, et la plage sera toujours le point unique .

Les fonctions linéaires sont la deuxième classe de fonctions la plus simple, définie par L(x,y,z) = px + qy + rz + k pour les constantes p, q, r, et k. Les nombres p, q et r sont appelés les X-pente, les oui-pente, et le z-pente de la fonction linéaire et k s'appelle son w-intercepter. Le domaine naturel de la fonction linéaire L est tout triple (x,y,z) de nombres réels. Si p ≠ 0 ou alors q ≠ 0 ou alors r ≠ 0, alors la plage de L sont tous des nombres réels.

Le calcul à trois variables considère les fonctions de trois variables réelles.

le domaine d'une fonction de trois variables est un sous-ensemble de coordonnées 3-espace < (x,y,z) | x, y, z ∈ >.

le intervalle d'une fonction à valeur réelle F est la collection de tous les nombres réels f(x,y,z)(x,y,z) est du domaine de F.

L'exemple le plus simple d'une fonction est le fonction constante qui attribue le vrai numéro k à tous (x,y,z) dans le domaine. La plage de cette fonction est l'ensemble contenant un point. L'exemple suivant le plus simple est un linéaire fonction définie par la formule f(x,y,z) = px + qy + rz + kp, q, et r sont les pentes partielles de la fonction linéaire et k désigne son w-intercepter.. La plage de cette fonction est tous les nombres réels si p, q, et r ne sont pas tous nuls, et juste la valeur si p = 0, q = 0, et r = 0.

Comme mentionné précédemment, le graphe d'une fonction à 3 variables est un hyperplan à 3 dimensions situé dans l'espace 4. Par conséquent, le graphique ne peut pas être visualisé directement, le domaine lui-même est déjà en trois dimensions.


Pour chaque point (x0, y0,z0) dans le domaine d'une fonction f, l'intersection du graphe de f avec le plan vertical x = x0, y = y0 sera le (x0, y0)-coupe de courbe (x0, y0,z,f(x0, y0,z)). Le domaine du x0-slice curve est l'ensemble des z pour lesquels (x0, y0,z) est dans le domaine de f.

De même, nous définissons le (y0,z0)-coupe de la courbe à (x,y0,z0,f(x,y0,z0)) pour tout x tel que (x,y0,z0) est dans le domaine de f, et on définit le (x0,z0)-couper la courbe à (x0,y,z0,f(x0,y,z0)) pour tout y tel que (x,y0,z0) est dans le domaine de f.


Pour chaque point (x0, y0,z0) dans le domaine d'une fonction f, l'intersection du graphe de f avec l'hyperplan vertical z = z0, sera le z0-surface de coupe (x,y,z0,f(x,y,z0)). Le domaine du z0-slice surface est l'ensemble des (x, y) pour lesquels (x,y,z0) est dans le domaine de f.

De même, nous définissons le y0-surface de la tranche à (x,y0,z,f(x,y0,z)) pour tout (x, z) tel que (x,y0,z) est dans le domaine de f, et on définit le x0-surface de la tranche à (x0,y,z,f(x0,y,z)) pour tout (y, z) tel que (x0,y,z) is in the domain of f.



The collection of all points (x,y,z) in the domain of a function F Pour qui f (x,y,z) = k est appelé le level set of f at level k.

The set of points (x,y,z,f(x,y,z)) in the graph of f in four-dimensional space for which f(x,y,z) = k est appelé le contour of f at height k.

A curve (x(t),y(t),z(t)) in the domain of F tel que f(x(t),y(t),z(t)) = k s'appelle un level curve of f at level k. A surface (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) tel que f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = k s'appelle un level surface of f at level k.


We can also construct a color graph of the function F by assigning to each point (x,y,z) in the domain a color that corresponds to the value f(x,y,z).


One of the most important properties of functions of two real variables is continuity . The basic intuition for continuity is that the range of a function f(x,y,z) will lie in an arbitrarily small interval centered at f(x0, y0,z0) if (x,y,z) is restricted to lie in a sufficiently small ball centered at (x0, y0,z0). Geometrically, this means that the graph of f(x,y,z) will lie between a pair of parallel hyperplanes z = f(x0, y0,z0) + ε and z = f(x0, y0,z0) – ε if (x,y,z) is required to lie in the ball of radius δ centered at f(x0, y0,z0) i.e. √((x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 ) < δ.

According to the epsilon-delta definition, a function F of three real variables is said to be continu à (x0, y0,z0) if for any ε > 0 il existe un δ tel que | f(x,y,z) - f(x0, y0,z0) | < ε n'importe quand | (x,y,z) - (x0, y0,z0) | < δ.

A function f of three real variables is said to be continuous if it is continuous at all points (x0, y0,z0) in its domain.


3.1: Introduction to Functions of Multiple Variables - Mathematics

Propositional logic and first-order logic, with an emphasis on the relationship between the semantic and syntactic approaches these ideas are summarized in Godel's Completeness Theorems. Hilbert's Program and the work of Godel [Incompleteness Theorems], Church, Turing, and Tarski on undecidability and indefinability.

We will cover in considerable detail 1.1-1.6, 2.1-2.2 and 3.1-3.4 from Hodel's book. We will cover in considerable detail nearly all of Chapters 2 and 3 from Mendelson's book. All of this material will be supplemented with my own notes

We will introduce some concepts from computer science to clarify some of the material in the beginning as well as to allow some calculations to be done by the computer.

Grading

There will be weekly assignments which will be graded this will count for 50% of your grade. There will be two in class tests on the terminology these will each count 10% of your grade. There will be a final assignment which will count the remaining 20% of your grade.

Here are the definitions from which the first test will be taken: PDF

This supplants what was in the course synopsis (although it really isn't that different, is it?) I may change this slightly later on.

It may be possible to do some sort of project on a topic related to logic which interests you. We'll see.

Students with excused absences will be given a make-up exam. No quizzes or homework will be made up for credit, but it's important to make it up for your own benefit. Late homework will not be accepted.


Voir la vidéo: Episode 3 fonction de plusieurs variables continuté (Novembre 2021).