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8.1 : Simplifier les expressions rationnelles - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle est indéfinie
  • Évaluer les expressions rationnelles
  • Simplifier les expressions rationnelles
  • Simplifier des expressions rationnelles avec des facteurs opposés

Noter

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

Si vous manquez un problème, retournez à la section répertoriée et passez en revue le matériel.

  1. Simplifiez : (dfrac{90y}{15y^2}).
    Si vous avez manqué ce problème, revoyez l'exercice 6.5.22.
  2. Facteur : (6x^2−7x+2).
    Si vous avez manqué ce problème, revoyez l'exercice 7.3.16.
  3. Facteur : (n^3+8).
    Si vous avez manqué ce problème, revoyez l'exercice 7.4.36.

Dans le chapitre 1, nous avons passé en revue les propriétés des fractions et leurs opérations. Nous avons introduit des nombres rationnels, qui ne sont que des fractions où les numérateurs et les dénominateurs sont des entiers et le dénominateur n'est pas zéro.

Dans ce chapitre, nous allons travailler avec des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Nous appelons ces expressions rationnelles.

Définition : EXPRESSION RATIONNELLE

UNE expression rationnelle est une expression de la forme (dfrac{p(x)}{q(x)}), où (p) et (q) sont des polynômes et (q e 0).

N'oubliez pas que la division par (0) n'est pas définie.

Voici quelques exemples d'expressions rationnelles :

[egin{array}{cccc} {−dfrac{13}{42}}&{dfrac{7y}{8z}}&{dfrac{5x+2}{x^2−7}}& {dfrac{4x^2+3x−1}{2x−8}} onumber end{array}]

Notez que la première expression rationnelle listée ci-dessus, (−dfrac{13}{42}), n'est qu'une fraction. Puisqu'une constante est un polynôme de degré zéro, le rapport de deux constantes est une expression rationnelle, à condition que le dénominateur ne soit pas nul.

Nous allons effectuer les mêmes opérations avec des expressions rationnelles que nous faisons avec des fractions. Nous allons les simplifier, les ajouter, les soustraire, les multiplier, les diviser et les utiliser dans des applications.

Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie

Lorsque nous travaillons avec une fraction numérique, il est facile d'éviter de diviser par zéro, car nous pouvons voir le nombre au dénominateur. Afin d'éviter de diviser par zéro dans une expression rationnelle, nous ne devons pas autoriser les valeurs de la variable qui feront que le dénominateur sera nul.

Si le dénominateur est zéro, l'expression rationnelle est indéfinie. Le numérateur d'une expression rationnelle peut être (0)—mais pas le dénominateur.

Ainsi, avant de commencer toute opération avec une expression rationnelle, nous l'examinons d'abord pour trouver les valeurs qui rendraient le dénominateur nul. Ainsi, lorsque nous résolvons une équation rationnelle par exemple, nous saurons si les solutions algébriques que nous trouvons sont autorisées ou non.

Définition : DETERMINER LES VALEURS POUR LESQUELLES UNE EXPRESSION RATIONNELLE EST INDEFINIE.

  1. Réglez le dénominateur égal à zéro.
  2. Résoudre l'équation dans l'ensemble des réels, si possible.

Exemple (PageIndex{1})

Déterminer les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle est indéfinie :

  1. (dfrac{9y}{x})
  2. (dfrac{4b−3}{2b+5})
  3. (dfrac{x+4}{x^2+5x+6})
Répondre

L'expression sera indéfinie lorsque le dénominateur est zéro.

1.(dfrac{9y}{x})
Réglez le dénominateur égal à zéro. Résoudre pour la variable.(x=0)
(dfrac{9y}{x}) n'est pas défini pour (x=0).
2.

(dfrac{4b−3}{2b+5})

Réglez le dénominateur égal à zéro. Résoudre pour la variable.(2b+5=0)
(2b=−5)
(b=−dfrac{5}{2})
(dfrac{4b−3}{2b+5}) n'est pas défini pour (b=−dfrac{5}{2}).
3.(dfrac{x+4}{x^2+5x+6})
Réglez le dénominateur égal à zéro. Résoudre pour la variable.(x^2+5x+6=0)
((x+2)(x+3)=0)
(x+2=0) ou (x+3=0)
(x=−2) ou (x=−3)
(dfrac{x+4}{x^2+5x+6}) n'est pas défini pour (x=−2) ou (x=−3).

Dire que l'expression rationnelle (dfrac{x+4}{x^2+5x+6}) est indéfinie pour (x=−2) ou (x=−3) revient à écrire le phrase « nul là où interdit » dans les règles du concours

Exemple (PageIndex{2})

Déterminer les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle est indéfinie :

  1. (dfrac{3y}{x})
  2. (dfrac{8n−5}{3n+1})
  3. (dfrac{a+10}{a^2+4a+3})
Répondre
  1. (x=0)
  2. (n=−dfrac{1}{3})
  3. (a=−1), (a=−3)

Exemple (PageIndex{3})

Déterminer les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle est indéfinie :

  1. (dfrac{4p}{5q})
  2. (dfrac{y−1}{3y+2})
  3. (dfrac{m−5}{m^2+m−6})
Répondre
  1. (q=0)
  2. (y=−dfrac{2}{3})
  3. (m=2, ,m=−3)

Évaluer les expressions rationnelles

Pour évaluer une expression rationnelle, nous substituons les valeurs des variables dans l'expression et simplifions, tout comme nous l'avons fait pour de nombreuses autres expressions dans ce livre.

Exemple (PageIndex{5})

Évaluez (dfrac{y+1}{2y−3}) pour chaque valeur :

  1. (y=1)
  2. (y=−3)
  3. (y=0)
Répondre
  1. (−2)
  2. (dfrac{2}{9})
  3. (−dfrac{1}{3})

Exemple (PageIndex{6})

Évaluez (dfrac{5x−1}{2x+1}) pour chaque valeur :

  1. (x=1)
  2. (x=−1)
  3. (x=0)
Répondre
  1. (dfrac{4}{3})
  2. (6)
  3. (−1)

Exemple (PageIndex{8})

Évaluez (dfrac{x^2+1}{x^2−3x+2}) pour chaque valeur :

  1. (x=0)
  2. (x=−1)
  3. (x=3)
Répondre
  1. (dfrac{1}{2})
  2. (dfrac{1}{3})
  3. (2)

Exemple (PageIndex{9})

Évaluez (dfrac{x^2+x−6}{x^2−9}) pour chaque valeur.

  1. (x=0)
  2. (x=−2)
  3. (x=1)
Répondre
  1. (dfrac{2}{3})
  2. (dfrac{4}{5})
  3. (dfrac{1}{2})

Rappelez-vous qu'une fraction est simplifiée lorsqu'elle n'a pas de facteurs communs, autres que 1, dans son numérateur et son dénominateur. Lorsque nous évaluons une expression rationnelle, nous veillons à simplifier la fraction résultante.

Exemple (PageIndex{10})

Évaluez (dfrac{a^2+2ab+b^2}{3ab^2}) pour chaque valeur.

  1. (a=1, ,b=2)
  2. (a=−2,, b=−1)
  3. (a=dfrac{1}{3}), (b=0)
Répondre
1.(dfrac{a^2+2ab+b^2}{3ab^2}) quand (a=1, ,b=2)
Simplifier.
2.(dfrac{a^2+2ab+b^2}{3ab^2}) quand (a=−2, ,b=−1)
Simplifier.
3.(dfrac{a^2+2ab+b^2}{3ab^2}) quand (a=dfrac{1}{3}), (b=0)
Simplifier.

Exemple (PageIndex{11})

Évaluez (dfrac{2a^{3}b}{a^2+2ab+b^2}) pour chaque valeur.

  1. (a=−1, ,b=2)
  2. (a=0, ,b=−1)
  3. (a=1), (b=dfrac{1}{2})
Répondre
  1. (−4)
  2. (0)
  3. (dfrac{4}{9})

Exemple (PageIndex{12})

Évaluez (dfrac{a^2−b^2}{8ab^3}) pour chaque valeur :

  1. (a=1, ,b=−1)
  2. (a=dfrac{1}{2}), (b=−1)
  3. (a=−2, ,b=1)
Répondre
  1. (0)
  2. (dfrac{3}{16})
  3. (dfrac{3}{16})

Simplifier les expressions rationnelles

Tout comme une fraction est considérée comme simplifiée s'il n'y a pas de facteurs communs, autres que (1), dans son numérateur et son dénominateur, une expression rationnelle est simplifié si elle n'a pas de facteurs communs, autres que (1), dans son numérateur et son dénominateur.

Définition : EXPRESSION RATIONNELLE SIMPLIFIÉE

Une expression rationnelle est considérée comme simplifiée s'il n'y a pas de facteurs communs dans son numérateur et son dénominateur.

Par example:

  • (dfrac{2}{3}) est simplifié car il n'y a pas de facteurs communs de (2) et (3).
  • (dfrac{2x}{3x}) n'est pas simplifié car (x) est un facteur commun de (2x) et (3x).

Nous utilisons la propriété des fractions équivalentes pour simplifier les fractions numériques. Nous le reformulons ici car nous l'utiliserons également pour simplifier expression rationnelles.

Définition : PROPRIÉTÉ DE FRACTIONS ÉQUIVALENTES

Si (a), (b) et (c) sont des nombres où (b e 0), (c e 0), alors [dfrac{a}{b }=dfrac{a·c}{b·c}quad ext{et}quaddfrac{a·c}{b·c}=dfrac{a}{b}]

Notez que dans la propriété Equivalent Fractions, les valeurs qui rendraient les dénominateurs nuls sont spécifiquement interdites. On voit (b e 0), (c e 0) clairement énoncé. Chaque fois que nous écrivons une expression rationnelle, nous devrions faire une déclaration similaire interdisant les valeurs qui feraient un dénominateur zéro. Cependant, pour nous concentrer sur le travail en cours, nous omettrons de l'écrire dans les exemples.

Commençons par examiner comment nous simplifions les fractions numériques.

Exemple (PageIndex{13})

Simplifiez : (−dfrac{36}{63}).

Répondre
Réécrivez le numérateur et le dénominateur en indiquant les facteurs communs.
Simplifiez-vous en utilisant la propriété des fractions équivalentes.

Notez que la fraction (−dfrac{4}{7}) est simplifiée car il n'y a plus de facteurs communs.

Exemple (PageIndex{14})

Simplifier : (−dfrac{45}{81}).

Répondre

(−dfrac{5}{9})

Exemple (PageIndex{15})

Simplifiez : (−dfrac{42}{54}).

Répondre

(−dfrac{7}{9})

Tout au long de ce chapitre, nous supposerons que toutes les valeurs numériques qui feraient que le dénominateur soit zéro sont exclues. Nous n'écrirons pas les restrictions pour chaque expression rationnelle, mais gardez à l'esprit que le dénominateur ne peut jamais être zéro. Donc dans cet exemple suivant, (x e 0) et (y e 0).

Exemple (PageIndex{16})

Simplifier : (dfrac{3xy}{18x^{2}y^{2}}).

Répondre
Réécrivez le numérateur et le dénominateur en indiquant les facteurs communs.
Simplifiez-vous en utilisant la propriété des fractions équivalentes.

Avez-vous remarqué que ce sont les mêmes étapes que nous avons prises lorsque nous avons divisé les monômes en Polynômes?

Exemple (PageIndex{17})

Simplifiez : (dfrac{4x^{2}y}{12xy^2}).

Répondre

(dfrac{x}{3y})

Exemple (PageIndex{18})

Simplifiez : (dfrac{16x^{2}y}{2xy^2}).

Répondre

(dfrac{8x}{y})

Pour simplifier les expressions rationnelles, nous écrivons d'abord le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée. Ensuite, nous supprimons les facteurs communs à l'aide de la propriété des fractions équivalentes.

Soyez très prudent lorsque vous supprimez les facteurs communs. Les facteurs sont multipliés pour faire un produit. Vous pouvez supprimer un facteur d'un produit. Vous ne pouvez pas supprimer un terme d'une somme.

Notez que la suppression du X's de (dfrac{x+5}{x}) reviendrait à annuler les 2 dans la fraction (dfrac{2+5}{2}) !

Comment simplifier les binômes rationnels

Exemple (PageIndex{19})

Simplifier : (dfrac{2x+8}{5x+20}).

Répondre

Exemple (PageIndex{20})

Simplifier : (dfrac{3x−6}{2x−4}).

Répondre

(dfrac{3}{2})

Exemple (PageIndex{21})

Simplifier : (dfrac{7y+35}{5y+25}).

Répondre

(dfrac{7}{5})

Nous résumons maintenant les étapes à suivre pour simplifier les expressions rationnelles.

Définition : SIMPLIFIER UNE EXPRESSION RATIONNELLE.

  1. Factorisez complètement le numérateur et le dénominateur.
  2. Simplifiez en divisant les facteurs communs.

Habituellement, nous laissons l'expression rationnelle simplifiée sous forme factorisée. De cette façon, il est facile de vérifier que nous avons supprimé tous les facteurs communs !

Nous utiliserons les méthodes que nous avons décrites dans Affacturage factoriser les polynômes dans les numérateurs et les dénominateurs dans les exemples suivants.

Exemple (PageIndex{22})

Simplifier : (dfrac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}).

Répondre
(dfrac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12})
Factoriser le numérateur et le dénominateur.(dfrac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+6)})
Supprimez le facteur commun (x+2) du numérateur et du dénominateur.(dfrac{x+3}{x+6})

Pouvez-vous dire quelles valeurs de (x) doivent être exclues dans cet exemple ?

Exemple (PageIndex{23})

Simplifier : (dfrac{x^2−x−2}{x^2−3x+2}).

Répondre

(dfrac{x+1}{x−1})

Exemple (PageIndex{24})

Simplifier : (dfrac{x^2−3x−10}{x^2+x−2}).

Répondre

(dfrac{x−5}{x−1})

Exemple (PageIndex{25})

Simplifiez : (dfrac{y^2+y−42}{y^2−36}).

Répondre
(dfrac{y^2+y−42}{y^2−36}).
Factoriser le numérateur et le dénominateur.(dfrac{(y+7)(y−6)}{(y+6)(y−6)})
Supprimez le facteur commun (y−6) du numérateur et du dénominateur.(dfrac{y+7}{y+6})

Exemple (PageIndex{26})

Simplifiez : (dfrac{x^2+x−6}{x^2−4}).

Répondre

(dfrac{x+3}{x+2})

Exemple (PageIndex{27})

Simplifier : (dfrac{x^2+8x+7}{x^2−49}).

Répondre

(dfrac{x+1}{x−7})

Exemple (PageIndex{28})

Simplifier : (dfrac{p^3−2p^2+2p−4}{p^2−7p+10}).

Répondre
(dfrac{p^3−2p^2+2p−4}{p^2−7p+10})
Factoriser le numérateur et le dénominateur, en utilisant le regroupement pour factoriser le numérateur.(dfrac{p^2(p−2)+2(p−2)}{(p−5)(p−2)})
(dfrac{(p^2+2)(p−2)}{(p−5)(p−2)})
Supprimer le facteur commun (p−2) du numérateur et du dénominateur.(dfrac{p^2+2}{p−5})

Exemple (PageIndex{29})

Simplifiez : (dfrac{y^3−3y^2+y−3}{y^2−y−6}).

Répondre

(dfrac{y^2+1}{y+2})

Exemple (PageIndex{30})

Simplifier : (dfrac{p^3−p^2+2p−2}{p^2+4p−5}).

Répondre

(dfrac{p^2+2}{p+5})

Exemple (PageIndex{31})

Simplifier : (dfrac{2n^2−14n}{4n^2−16n−48}).

Répondre
(dfrac{2n^2−14n}{4n^2−16n−48})
Factoriser le numérateur et le dénominateur, en factorisant d'abord le GCF.(dfrac{2n(n−7)}{4(n^2−4n−12)})
(dfrac{2n(n−7)}{4(n−6)(n+2)})
Supprimez le facteur commun, (2).(dfrac{n(n−7)}{2(n−6)(n+2)})

Exemple (PageIndex{32})

Simplifier : (dfrac{2n^2−10n}{4n^2−16n−20}).

Répondre

(dfrac{n}{2(n+1)})

Exemple (PageIndex{33})

Simplifier : (dfrac{4x^2−16x}{8x^2−16x−64}).

Répondre

(dfrac{x}{2(x+2)})

Exemple (PageIndex{34})

Simplifier : (dfrac{3b^2−12b+12}{6b^2−24}).

Répondre
(dfrac{3b^2−12b+12}{6b^2−24})
Factoriser le numérateur et le dénominateur, en factorisant d'abord le GCF.(dfrac{3(b^2−4b+4)}{6(b^2−4)})
(dfrac{3(b−2)(b−2)}{6(b−2)(b+2)})
Supprimer les facteurs communs de (b−2) et (3).(dfrac{3(b−2)}{2(b+2)})

Exemple (PageIndex{35})

Simplifier : (dfrac{2x^2−12x+18}{3x^2−27}).

Répondre

(dfrac{2(x−3)}{3(x+3)})

Exemple (PageIndex{36})

Simplifiez : (dfrac{5y^2−30y+25}{2y^2−50}).

Répondre

(dfrac{5(x−1)}{2(x+5)})

Exemple (PageIndex{37})

Simplifiez : (dfrac{m^3+8}{m^2−4}).

Répondre
(dfrac{m^3+8}{m^2−4})
Factoriser le numérateur et le dénominateur, en utilisant les formules pour la somme des cubes et la différence des carrés.(dfrac{(m+2)(m^2−2m+4)}{(m+2)(m−2)})
Supprimez les facteurs communs de (m+2).(dfrac{m^2−2m+4}{m−2})

Exemple (PageIndex{38})

Simplifier : (dfrac{p^3−64}{p^2−16}).

Répondre

(dfrac{p^2+4p+16}{p+4})

Exemple (PageIndex{39})

Simplifier : (dfrac{x^3+8}{x^2−4}).

Répondre

(dfrac{x^2−2x+4}{x−2})

Simplifier les expressions rationnelles avec des facteurs opposés

Voyons maintenant comment simplifier une expression rationnelle dont le numérateur et le dénominateur ont des facteurs opposés. Commençons par une fraction numérique, disons (dfrac{7}{−7}).

Nous savons que cette fraction se simplifie en (−1). Nous reconnaissons également que le numérateur et le dénominateur sont opposés.

Dans Fondations, nous avons introduit la notation inverse : l'opposé de a est (−a). On se souvient aussi que (−a=−1·a)

On simplifie la fraction (dfrac{a}{−a})

[egin{array}{ll} {}&{dfrac{a}{−a}} { ext{Nous pourrions réécrire ceci.}}&{dfrac{1·a}{−1· a}} { ext{Supprimer les facteurs communs.}}&{dfrac{1}{−1}} { ext{Simplifier.}}&{−1} onumber end{ déployer}]

Donc, de la même manière, on peut simplifier la fraction (dfrac{x−3}{−(x−3)})

[egin{array}{ll} {}&{dfrac{x−3}{−(x−3)}} { ext{Nous pourrions réécrire ceci.}}&{dfrac{1· (x−3)}{−1·(x−3)}} { ext{Supprimer les facteurs communs.}}&{dfrac{1}{−1}} { ext{Simplifier. }}&{−1} onumber end{array}]

Mais le contraire de (x−3) pourrait s'écrire différemment :

[egin{array}{ll} {}&{−(x−3)} { ext{Distribute.}}&{−x+3} { ext{Rewrite.}}&{ 3−x} onumber end{array}]

Cela signifie que la fraction (dfrac{x−3}{3−x}) se simplifie en (−1).

En général, nous pourrions écrire le contraire de (a−b) comme (b−a). Ainsi l'expression rationnelle (dfrac{a−b}{b−a}) se simplifie en (−1).

Définition : OPPOSÉS DANS UNE EXPRESSION RATIONNELLE

L'opposé (a−b) est (b−a)

(dfrac{a−b}{b−a}=−1), (a e b)

Une expression et son contraire se divisent en (−1)

Nous utiliserons cette propriété pour simplifier les expressions rationnelles qui contiennent des contraires dans leurs numérateurs et dénominateurs.

Exemple (PageIndex{40})

Simplifier : (dfrac{x−8}{8−x}).

Répondre
(dfrac{x−8}{8−x}).
Reconnaître que (x−8) et (8−x) sont opposés−1

Exemple (PageIndex{41})

Simplifiez : (dfrac{y−2}{2−y}).

Répondre

(−1)

Exemple (PageIndex{42})

Simplifier : (dfrac{n−9}{9−n}).

Répondre

(−1)

N'oubliez pas que la première étape pour simplifier une expression rationnelle consiste à factoriser complètement le numérateur et le dénominateur.

Exemple (PageIndex{43})

Simplifier : (dfrac{14−2x}{x^2−49}).

Répondre
Factoriser le numérateur et le dénominateur.
Reconnaître que (7−x) et (x−7) sont opposés.
Simplifier.

Exemple (PageIndex{44})

Simplifiez : (dfrac{10−2y}{y^2−25}).

Répondre

(−dfrac{2}{y+5})

Exemple (PageIndex{45})

Simplifiez : (dfrac{3y−27}{81−y^2}).

Répondre

(−dfrac{3}{9+y})

Exemple (PageIndex{46})

Simplifiez : (dfrac{x^2−4x−32}{64−x^2}).

Répondre
Factoriser le numérateur et le dénominateur.
Reconnaître les facteurs opposés.
Simplifier.

Exemple (PageIndex{47})

Simplifiez : (dfrac{x^2−4x−5}{25−x^2}).

Répondre

(−dfrac{x+1}{x+5})

Exemple (PageIndex{48})

Simplifier : (dfrac{x^2+x−2}{1−x^2}).

Répondre

(−dfrac{x+2}{x+1})

Concepts clés

  • Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie
    1. Réglez le dénominateur égal à zéro.
    2. Résoudre l'équation, si possible.
  • Expression rationnelle simplifiée
    • Une expression rationnelle est considérée comme simplifiée s'il n'y a pas de facteurs communs dans son numérateur et son dénominateur.
  • Simplifier une expression rationnelle
    1. Factorisez complètement le numérateur et le dénominateur.
    2. Simplifiez en divisant les facteurs communs.
  • Opposés dans une expression rationnelle
    • L'opposé de (a−b) est (b−a).
      (dfrac{a−b}{b−a}=−1) (a e b), (b e 0), (a e b)

Glossaire

expression rationnelle
Une expression rationnelle est une expression de la forme (dfrac{p}{q}), où (p) et (q) sont des polynômes et (q e 0).


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