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4.4 : Classification des expressions et des équations - Mathématiques


Polynômes

Polynômes

Considérons la collection de toutes les expressions algébriques qui ne contiennent pas de variables dans les dénominateurs de fractions et où tous les exposants des quantités variables sont des nombres entiers. Les expressions de cette collection sont appelées polynômes.

Quelques expressions qui sommes les polynômes sont

Exemple (PageIndex{1})

(3x^4)

Exemple (PageIndex{2})

(dfrac{2}{5}x^2y^6)

Une fraction apparaît, mais aucune variable n'apparaît au dénominateur.

Exemple (PageIndex{3})

(5x^3+3x^2-2x+1)

Quelques expressions qui ne sont pas les polynômes sont

Exemple (PageIndex{4})

(dfrac{3}{x}-16)

Une variable apparaît au dénominateur

Exemple (PageIndex{5})

(4x^2 - 5x + x^{-3})

Un exposant négatif apparaît sur une variable

Classification des polynômes

Les polynômes peuvent être classés selon deux critères : le nombre de termes et le degré du polynôme.

Nombre de termesNomExempleCommenter
UnMonmial(4x^2)mono signifie "un" en grec
DeuxBinôme(4x^2 - 7x)bi signifie "deux" en latin
TroisTrinôme(4x^2-7x+3)Tri signifie "trois" en grec
Quatre ou plusPolynôme(4x^3-7x^2+3x-1)Poly signifie "beaucoup" en grec

Degré d'un terme contenant une variable

Le degré d'un terme contenant seulement un variable est la valeur de l'exposant de la variable. Les exposants apparaissant sur les nombres n'affectent pas le degré du terme. On ne considère que l'exposant de la variable. Par exemple:

Exemple (PageIndex{6})

(5x^3) est un monôme de degré (3).

Exemple (PageIndex{7})

(60a^5) est un monôme de degré (5).

Exemple (PageIndex{8})

(21b^2) est un monôme de degré (2)

Exemple (PageIndex{9})

(8) est un monôme de degré 0. On dit qu'un nombre non nul est un terme de (0) degré puisqu'il pourrait s'écrire (8x^0). Depuis (x^0=1(xpas =0)), (8x^0=8). L'exposant sur la variable est (0) donc il doit être de degré (0). (Par convention, le nombre (0) n'a pas de degré.)

Exemple (PageIndex{10})

(4x) est un monôme du premier degré. (4x) pourrait être écrit comme (4x^1). L'exposant de la variable est (1) donc il doit être du premier degré.

Degré d'un terme contenant plusieurs variables

Le degré d'un terme contenant Suite plus d'une variable est le somme des exposants des variables, comme indiqué ci-dessous.

Exemple (PageIndex{11})

(4x^2y^5) est un monôme de degré (2 + 5 = 7). Il s'agit d'un monôme du 7e degré.

Exemple (PageIndex{12})

(37ab^2c^6d^3) est un monôme de degré (1 + 2 + 6 + 3 = 12). Il s'agit d'un monôme du 12e degré.

Exemple (PageIndex{13})

(5xy) est un monôme de degré (1 + 1 = 2). C'est un monôme du 2e degré.

Degré d'un polynôme

Le degré d'un polynôme est le degré de terme du plus haut degré; par exemple:

Exemple (PageIndex{14})

(2x^3 + 6x - 1) est un trinôme de degré (3). Le premier terme, (2x^3), est le terme du plus haut degré. Son degré est donc le degré du polynôme.

Exemple (PageIndex{15})

(7y -10y^4) est un binôme de degré (4).

Exemple (PageIndex{16})

(a - 4 + 5a^2) est un trinôme de degré (2).

Exemple (PageIndex{17})

(2x^6 + 9x^4 - x^7 - 8x^3 + x - 9) est un polynôme de degré (7).

Exemple (PageIndex{18})

(4x^3y^5 - 2xy^3) est un binôme de degré (8). Le degré du premier terme est (8).

Exemple (PageIndex{19})

(3x + 10) est un binôme de degré (1).

Linéaire Quadratique Cubique

Les polynômes du premier degré sont appelés linéaire polynômes.
Les polynômes du second degré sont appelés quadratique polynômes.
Les polynômes du troisième degré sont appelés cubique polynômes.
Les polynômes du quatrième degré sont appelés quatrième degré polynômes.
Les polynômes du nième degré sont appelés (n)e degré polynômes.
Constantes non nulles sont des polynômes de 0e degré.

Voici quelques exemples de ces polynômes :

Exemple (PageIndex{20})

(4x - 9) est un polynôme linéaire.

Exemple (PageIndex{21})

(3x^2 + 5x - 7) est un polynôme quadratique.

Exemple (PageIndex{22})

(8y - 2x^3) est un polynôme cubique

Exemple (PageIndex{23})

(16a^2 - 32a^5 - 64) est un polynôme du 5ème degré.

Exemple (PageIndex{24})

(x^{12} - y^{12}) est un polynôme du 12e degré.

Exemple (PageIndex{25})

(7x^5y^7z^3 - 2x^4y^7z + x^3y^7) est un polynôme du 15e degré. Le premier terme est de degré (5 + 7 + 3 = 15).

Exemple (PageIndex{26})

(43) est un polynôme de 0e degré.

Classification des équations polynomiales

Comme nous le savons, une équation est composée de deux expressions algébriques séparées par un signe égal. Si les deux expressions sont des expressions polynomiales, alors nous pouvons classer l'équation selon son degré. La classification des équations par degré est utile car les équations de même degré ont le même type de graphique. (Nous étudierons les graphes d'équations au chapitre 8.)

Le degré d'une équation est le degré de l'expression du degré le plus élevé.

Ensemble d'échantillons A

Exemple (PageIndex{27})

(x + 7 = 15).

C'est une équation linéaire puisqu'elle est de degré 1, le degré de l'expression à gauche du signe "=".

Exemple (PageIndex{28})

(5x^2 + 2x - 7 = 4) est une équation quadratique puisqu'elle est de degré 2.

Exemple (PageIndex{29})

(9x^3 - 8 = 5x^2 + 1)

Exemple (PageIndex{30})

(y^4 - x^4 = 0) est une équation du 4e degré.

Exemple (PageIndex{31})

(a^5 - 3a^4 = -a^3 + 6a^4 - 7) est une équation du 5e degré.

Exemple (PageIndex{32})

(y = dfrac{2}{3}x + 3) est une équation linéaire.

Exemple (PageIndex{33})

(y = 3x^2 - 1) est une équation quadratique.

Exemple (PageIndex{34})

(x^2y^2 - 4 = 0) est une équation du 4ème degré. Le degré de (x^2y^2 - 4) est (2 + 2 = 4).

Ensemble d'entraînement A

Classez les équations suivantes en fonction de leur degré.

Problème de pratique (PageIndex{1})

(3x + 6 = 0)

Réponse

Premier, ou linéaire

Problème de pratique (PageIndex{2})

(9x^2 + 5x - 6 = 3)

Réponse

Quadratique

Problème de pratique (PageIndex{3})

(25y^3 + y = 9y^2 - 17y + 4)

Réponse

Cubique

Problème de pratique (PageIndex{4})

(x = 9)

Réponse

Linéaire

Problème de pratique (PageIndex{5})

(y = 2x + 1)

Réponse

Linéaire

Problème de pratique (PageIndex{6})

(3y = 9x^2)

Réponse

Quadratique

Problème de pratique (PageIndex{7})

(x^2 - 9 = 0)

Réponse

Quadratique

Problème de pratique (PageIndex{8})

(y = x)

Réponse

Linéaire

Problème de pratique (PageIndex{9})

(5x^7 = 3x^5 - 2x^8 + 11x - 9)

Réponse

huitième degré

Des exercices

Pour les problèmes suivants, classez chaque polynôme comme un monôme, un binôme ou un trinôme. Indiquez le degré de chaque polynôme et écrivez le coefficient numérique de chaque terme.

Exercice (PageIndex{1})

(5x+7)

Réponse

binôme; premier (linéaire); 5,7

Exercice (PageIndex{2})

(16x + 21)

Exercice (PageIndex{3})

(4x^2 + 9)

Réponse

binôme; deuxième (quadratique); 4,9

Exercice (PageIndex{4})

(7y^3 + 8)

Exercice (PageIndex{5})

(a^4 + 1)

Réponse

binôme; Quatrième; 1,1

Exercice (PageIndex{6})

(2b^5 - 8)

Exercice (PageIndex{7})

(5x)

Réponse

monôme; premier (linéaire); 5

Exercice (PageIndex{8})

(7a)

Exercice (PageIndex{9})

(5x^3 + 2x + 3)

Réponse

trinôme; troisième (cubique); 5,2,3

Exercice (PageIndex{10})

(17y^4 + y^5 - 9)

Exercice (PageIndex{11})

(41a^3 + 22a^2 + a)

Réponse

trinôme; troisième (cubique); 41,22,1

Exercice (PageIndex{12})

(6y^2 + 9)

Exercice (PageIndex{13})

(2c^6 + 0)

Réponse

monôme; sixième; 2

Exercice (PageIndex{14})

(8x^2 - 0)

Exercice (PageIndex{15})

(9g)

Réponse

monôme; premier (linéaire); 9

Exercice (PageIndex{16})

(5xy + 3x)

Exercice (PageIndex{17})

(3yz - 6y + 11)

Réponse

trinôme; deuxième (quadratique); 3,−6,11

Exercice (PageIndex{18})

(7ab^2c^2 + 2a^2b^3c^5 + a^{14})

Exercice (PageIndex{19})

(x^4y^3z^2 + 9z)

Réponse

binôme; neuvième; 1,9

Exercice (PageIndex{20})

(5a^3b)

Exercice (PageIndex{21})

(6 + 3x^2y^5b)

Réponse

binôme; huitième; 6,3

Exercice (PageIndex{22})

(-9 + 3x^2 + 2xy6z^2)

Exercice (PageIndex{23})

(5)

Réponse

monôme; zéro; 5

Exercice (PageIndex{24})

(3x^2y^0z^4 + 12z^3, y ot = 0)

Exercice (PageIndex{25})

(4xy^3z^5w^0, w pas = 0)

Réponse

monôme; neuvième; 4

Classez chacune des équations des problèmes suivants par degré. Si le terme linéaire, quadratique ou cubique s'applique, indiquez-le.

Exercice (PageIndex{26})

(4x + 7 = 0)

Exercice (PageIndex{27})

(3y - 15 = 9)

Réponse

linéaire

Exercice (PageIndex{28})

(y = 5s + 6)

Exercice (PageIndex{29})

(y = x^2 + 2)

Réponse

quadratique

Exercice (PageIndex{30})

(4y = 8x + 24)

Exercice (PageIndex{31})

(9z = 12x - 18)

Réponse

linéaire

Exercice (PageIndex{32})

(y^2 + 3 = 2y - 6)

Exercice (PageIndex{33})

(y - 5 + y^3 = 3y^2 + 2)

Réponse

cubique

Exercice (PageIndex{34})

(x^2 + x - 4 = 7x^2 - 2x + 9)

Exercice (PageIndex{35})

(2y + 5x - 3 + 4xy = 5xy + 2y)

Réponse

quadratique

Exercice (PageIndex{36})

(3x - 7y = 9)

Exercice (PageIndex{37})

(8a + 2b = 4b - 8)

Réponse

linéaire

Exercice (PageIndex{38})

(2x^5 - 8x^2 + 9x + 4 = 12x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 1)

Exercice (PageIndex{39})

(x - y = 0)

Réponse

linéaire

Exercice (PageIndex{40})

(x^2 - 25 = 0)

Exercice (PageIndex{41})

(x^3 - 64 = 0)

Réponse

cubique

Exercice (PageIndex{42})

(x^{12} - y^{12} = 0)

Exercice (PageIndex{43})

(x + 3x^5 = x + 2x^5)

Réponse

cinquième degré

Exercice (PageIndex{44})

(3x^2 + 2x - 8y = 14)

Exercice (PageIndex{45})

(10a^2b^3c^6e^4 + 27a^3b^2b^4b^3b^2c^5 = 1, d pas = 0)

Réponse

19ème degré

Exercice (PageIndex{46})

L'expression (dfrac{4x^3}{9x-7}) n'est pas un polynôme car.

Exercice (PageIndex{47})

L'expression (dfrac{a^4}{7-a}) n'est pas un polynôme car.

Réponse

. il y a une variable au dénominateur

Exercice (PageIndex{48})

Toute expression algébrique est-elle une expression polynomiale ? Sinon, donnez un exemple d'expression algébrique qui n'est pas une expression polynomiale.

Exercice (PageIndex{49})

Toute expression polynomiale est-elle une expression algébrique ? Sinon, donnez un exemple d'expression polynomiale qui n'est pas une expression algébrique.

Réponse

Oui

Exercice (PageIndex{50})

Comment trouver le degré d'un terme qui contient plus d'une variable ?

Exercices de révision

Exercice (PageIndex{51})

Utilisez la notation algébrique pour écrire « onze moins trois fois un nombre fait cinq ».

Réponse

(11 - 3x = 5)

Exercice (PageIndex{52})

Simplifier ((x^4y^2z^3)^5).

Exercice (PageIndex{53})

Trouvez la valeur de (z) est (z = dfrac{x-u}{s}) et (x = 55, u = 49) et (s = 3).

Réponse

(z = 2).

Exercice (PageIndex{54})

Énumérez, le cas échéant, les facteurs communs dans l'expression (3x^4 + 6x^3 - 18x^2).

Exercice (PageIndex{55})

Indiquez (en l'écrivant) la relation exprimée par l'équation (y = 3x + 5).

Réponse

La valeur de (y) est (5) plus de trois fois la valeur de (x).


Voir la vidéo: Ensimmäisen asteen yhtälö (Novembre 2021).